Bài 6 trang 27 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn...

Đề bài :

Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn:

a) \(y = \sin x - 3\tan \frac{x}{2}\);

b) \(y = \left( {\cos 2x - 1} \right)\sin x\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về hàm số tuần hoàn để chứng minh: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số \(T \ne 0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x + T} \right) = f\left( T \right)\). Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn \(y = f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết :

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Với mọi \(x \in D\) ta có: \(x \pm 2\pi \in D\) và \(\sin \left( {x + 2\pi } \right) - 3\tan \frac{{x + 2\pi }}{2} = \sin x - 3\tan \left( {\frac{x}{2} + \pi } \right) = \sin x - 3\tan \frac{x}{2}\)

Do đó, hàm số \(y = \sin x - 3\tan \frac{x}{2}\) là hàm số tuần hoàn.

b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

Với mọi \(x \in D\) ta có: \(x \pm 2\pi \in D\) và \(\left( {\cos 2\left( {x + 2\pi } \right) - 1} \right)\sin \left( {x + 2\pi } \right) = \left( {\cos \left( {2x + 4\pi } \right) - 1} \right)\sin x = \left( {\cos 2x - 1} \right)\sin x\)

Do đó, hàm số \(y = \left( {\cos 2x - 1} \right)\sin x\) là hàm số tuần hoàn.