Bài 29 trang 19 SBT Toán 7 tập 1 Cánh diều: a) Rút gọn biểu thức: (A = 1 + 2 + {2^1} + {2^2} + + {2^{25}})....

Đề bài :

a) Rút gọn biểu thức: \(A = 1 + 2 + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{25}}\).

b) Một công ty phát triển kỹ thuật số có một thông báo hấp dẫn: Cần thuê một nhóm kỹ thuật viên hoàn thành một dự án trong vòng 26 ngày, công việc rất khó khăn nhưng tiền công cho dự án rất thú vị. Nhóm kỹ thuật viên được nhận làm dự án sẽ lựa chọn một trong hai phương án trả tiền công như sau:

-        Phương án 1: Nhận một lần và nhận tiền công trước với mức tiền 50 triệu đồng.

-        Phương án 2: Ngày đầu nhận 1 đồng, ngày sau nhận gấp đôi ngày trước đó.

Theo em, phương án nào nhận được nhiều tiền công hơn? Vì sao?

Phương pháp giải :

a) Ta rút gọn biểu thức bằng cách lấy biểu thức khác gấp hai lần nó để trừ đi nó.

b) Muốn biết phương án nào nhận được nhiều tiền công hơn, ta tính số tiền công nhận được từ mỗi phương án rồi so sánh.

Lời giải chi tiết :

a) \(A = 1 + 2 + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{25}}\)

Suy ra: \(2A = 2.(1 + 2 + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{25}}) = 2 + {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{26}}\).

Ta có:

     \(\begin{array}{l}2A - A = 2 + {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{26}} - (1 + 2 + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{25}})\\{\rm{         }}A = 2 + {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{26}} - 1 - 2 - {2^1} - {2^2} - ... - {2^{25}}\\{\rm{        }}A = {2^{26}} - 1\end{array}\)

Vậy \(A = {2^{26}} - 1\).

b)

Với phương án 1: nhóm kỹ thuật viên sẽ nhận được tiền công là 50 triệu đồng.

Với phương án 2: nhóm kỹ thuật viên sẽ nhận được tiền công ngày sau gấp đôi ngày trước đó.

-        Ngày thứ 1, nhóm kỹ thuật viên sẽ nhận được tiền công là 1 đồng.

-        Ngày thứ 2, nhóm kỹ thuật viên nhận được tiền công gấp đôi ngày thứ 1 và nhận được: \(1.2 = 2\) đồng.

-        Ngày thứ 3, nhóm kỹ thuật viên nhận được tiền công gấp đôi ngày thứ 2 và nhận được: \(2.2 = {2^2}\) đồng.

-        Ngày thứ 4, nhóm kỹ thuật viên nhận được tiền công gấp đôi ngày thứ 3 và nhận được: \({2^2}.2 = {2^3}\) đồng.

....

-        Ngày thứ 26, nhóm kỹ thuật viên nhận được số tiền công là: \({2^{25}}\) đồng.

Vậy sau 26 ngày, số tiền công mà nhóm kỹ thuật viên đó nhận được là:

\(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{25}}\) (đồng)

Theo phần a) ta có: \(A = 1 + 2 + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{25}}\)=\({2^{26}} - 1\).

Vậy theo phương án 2, số tiền công mà nhóm kỹ thuật viên nhận được là:

\({2^{26}} - 1 = 67{\rm{ 108 863}}\)(đồng)

Ta thấy: 50 000 000 < 67 108 863 nên phương án 2 nhận được nhiều tiền công hơn.