Bài 43 trang 23 SBT Toán 11 - Cánh diều: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số...

Đề bài :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) \(y = 3\sin x + 5\)

b) \(y = \sqrt {1 + \cos 2x} + 3\)

c) \(y = 4 - 2\sin x\cos x\)

d) \(y = \frac{1}{{4 - \sin x}}\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng tính chất \( - 1 \le \sin x \le 1\), \( - 1 \le \cos x \le 1\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết :

a) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Do \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin x \le 3 \Rightarrow 2 \le 3\sin x + 5 \le 8\).

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Hàm số xác định khi \(1 + \cos 2x \ge 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ge - 1\) (luôn đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\))

Do đó, tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Vì \( - 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + \cos 2x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow 3 \le \sqrt {1 + \cos 2x} + 3 \le 3 + \sqrt 2 \).

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(3 + \sqrt 2 \) khi \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 khi \(\cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Do \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), nên \(y = 4 - 2\sin x\cos x = 4 - \sin 2x\).

Vì \( - 1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow 1 \ge - \sin 2x \ge - 1 \Rightarrow 5 \ge 4 - \sin 2x \ge 3\), nên giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 khi \(\sin 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

d) Hàm số xác định khi \(4 - \sin x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 4\) (luôn đúng do \(\sin x \le 1

Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 1 \ge - \sin x \ge - 1 \Rightarrow 5 \ge 4 - \sin x \ge 3 \Rightarrow \frac{1}{5} \le \frac{1}{{4 - \sin x}} \le \frac{1}{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\frac{1}{3}\) khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\frac{1}{5}\) khi \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).