Bài 4.25 trang 84 Toán 7 tập 1: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC...

Giải bài 4.25 trang 84 SGK Toán lớp 7 tập 1 Kết nối tri thức với cuộc sống  - Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Đề bài :

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Bài giải :

a)

Vì M là trung điểm của BC và AM⊥BC  (theo giả thiết) nên đường thẳng AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Điểm A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên AB = AC (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).

Do đó tam giác ABC cân tại A (định nghĩa tam giác cân).

b)

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

Xét tam giác DBM và tam giác ACM có:

BM = CM (do M là trung điểm của BC);

∠DMB = ∠AMC  (hai góc đối đỉnh);

MD = MA (theo cách vẽ).

Vậy ΔDBM = ΔACM  (c.g.c).

Suy ra DB = AC (hai cạnh tương ứng)        (1)

Và ∠BDM = ∠CAMB  (hai góc tướng ứng).

Mà ∠BAM = ∠CAM  (do AM là tia phân giác của góc BAC).

Do đó ∠BDM = ∠BAM (= ∠CAM) 

Hay ∠BDA = ∠BAD  suy ra tam giác ABD cân tại B.

Suy ra AB = DB (định nghĩa tam giác cân).         (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC.

Do đó tam giác ABC cân tại A (định nghĩa tam giác cân).