Bài 3 trang 102 vở thực hành Toán 8 tập 2: Trong hình 9.22, cho AH, HE, HF lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, AHB...

Đề bài :

Trong hình 9.22, cho AH, HE, HF lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng

a) ΔAEH ∽ ΔAHB

b) ΔAFH ∽ ΔAHC

c) ΔAFE ∽ ΔABC

Hướng dẫn giải :

Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông và tam giác thường.

Lời giải chi tiết :

a) Hai tam giác vuông AEH (vuông tại E) và AHB (vuông tại H) có $\widehat{EAH}=\widehat{HAB}$ (góc chung). Do đó $\Delta AEH\backsim \Delta AHB$ (một cặp góc nhọn bằng nhau).

b) Hai tam giác vuông AFH (vuông tại F) và AHC (vuông tại H) có $\widehat{FAH}=\widehat{HAC}$ (góc chung). Do đó $\Delta AFH\backsim \Delta AHC$ (một cặp góc nhọn bằng nhau).

c) Vì $\Delta AEH\backsim \Delta AHB$ nên \(\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{AH}.\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{AB}.\frac{AH}{AC}=\frac{A{{H}^{2}}}{AB.AC}\) (1)

Vì $\Delta AFH\backsim \Delta AHC$ nên \(\frac{AF}{AB}=\frac{AF}{AH}.\frac{AH}{AB}=\frac{AH}{AC}.\frac{AH}{AB}=\frac{A{{H}^{2}}}{AB.AC}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$.

Hai tam giác AFE và ABC có $\widehat{A}$ chung; $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$ (Theo chứng minh trên).

Do đó \(\Delta AFE\backsim \Delta ABC\) (c.g.c).