Bài 4.19 trang 80 Toán 9 Kết nối tri thức tập 1: Mặt cắt ngang của một đập ngăn nước có dạng hình thang ABCD (H. 4. 30)...

Đề bài :

Mặt cắt ngang của một đập ngăn nước có dạng hình thang ABCD (H.4.30) . Chiều rộng của mặt trên AB của đập là 3 m. Độ dốc của sườn AD, tức là \(\tan D = 1,25.\) Độ dốc của sườn BC, tức là \(\tan C = 1,5.\) Chiều cao của đập là 3,5 m. Hãy tính chiều rộng CD của chân đập, chiều dài của các sườn AD và BC (làm tròn đến dm).

Hướng dẫn giải :

Gọi J là chân đường vuông góc kẻ từ A, ta mới tính được cạnh AD và DJ dựa theo tỉ số lượng giác, chưa đủ để tính cạnh DC và BC, do đó ta kẻ thêm đường cao BK của hình thang, ta sẽ có ABKJ là hình chữ nhật, ta tính được cạnh JK, tam giác BCK tính được BC và CK. Để tính DC ta tổng độ dài 3 cạnh DJ, JK, KC. Chú ý làm tròn đến đơn vị dm tức là phần thập phân lấy 1 chữ số.

Lời giải chi tiết :

Kẻ BK vuông góc với DC tại K và AJ vuông góc với DC tại J nên hình thang có hai đường cao là AJ và BK; AB= JK = 3,5 m

Xét tứ giác ABKJ có AJ // BK; AJ = BK; \(\widehat {AJK} = {90^0}\)

Nên ABKJ là hình chữ nhật suy ra JK = AB = 3 m

Tam giác ADJ vuông tại J nên ta có:

\(\tan \widehat D = \frac{{AJ}}{{DJ}}\) hay \(1,25 = \frac{{3,5}}{{DJ}}\) suy ra \(DJ = \frac{{3,5}}{{1,25}} = 2,8\) m = 2,8 dm.

\(A{D^2} = D{J^2} + A{J^2} = 3,{5^2} + 2,{8^2} = 20,09\) hay \(AD = \sqrt {20,09} \approx 4,5\) m = 45 dm (vì \(AD > 0\))

Tam giác BKC vuông tại K nên ta có:

\(\tan \widehat C = \frac{{BK}}{{KC}}\) hay \(1,5 = \frac{{3,5}}{{KC}}\) suy ra \(KC = \frac{{3,5}}{{1,5}} = \frac{7}{3} \approx 2,3\) m = 28 dm.

\(B{C^2} = B{K^2} + K{C^2} = 3,{5^2} + 2,{3^2} = 17,54\) hay \(BC = \sqrt {17,54} \approx 4,2\) m =42 dm (vì \(BC > 0\))

Độ dài cạnh DC là \(DC = DJ + JK + KC \approx 2,8 + 3 + 2,3 = 8,1\) m