Bài tập 6 trang 90 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho hàm số f(x) thỏa mãn: \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f’\left( x \right) = 2\sin x + 1\)...

Đề bài :

Cho hàm số f(x) thỏa mãn: \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f’\left( x \right) = 2\sin x + 1\). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\frac{{{\pi ^2} + 12\pi - 16}}{8}\).

B. \(\frac{{{\pi ^2} - 4\pi + 16}}{8}\).

C. \(\frac{{{\pi ^2} + 6\pi - 8}}{4}\).

D. \(\frac{{{\pi ^2} - 2\pi + 8}}{4}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\int {f’\left( x \right)dx} = \int {\left( {2\sin x + 1} \right)dx} = - 2\cos x + x + C\). Do đó, \(f\left( x \right) = - 2\cos x + x + C\)

Lại có: \(f\left( 0 \right) = 1\) nên \( - 2\cos 0 + 0 + C = 1 \Rightarrow C = 3\) nên \(f\left( x \right) = - 2\cos x + x + 3\)

Do đó: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { - 2\cos x + x + 3} \right)dx} = \left( { - 2\sin x + \frac{{{x^2}}}{2} + 3x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = - 2\sin \frac{\pi }{2} + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \frac{{3\pi }}{2}\)

\( = - 2 + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{{\pi ^2} + 12\pi - 16}}{8}\)

Chọn A