Bài 48 trang 83 SBT Toán lớp 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC cân tại A có (widehat {BAC} = 120^circ ) Trên cạnh BC lấy các đ...

Đề bài :

Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat {BAC} = 120^\circ \) Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = BA, CE = CA.

a) Chứng minh các tam giác BAD, CAE, AED là các tam giác cân.

b) Tính số đo mỗi góc của tam giác ADE.

Phương pháp giải :

- BD = BA suy ra tam giác ABD cân tại B.

- CA = CE suy ra tam giác ACE cân tại C.

- Chứng minh: \(\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {A{\rm{ED}}}\) suy ra tam giác AED cân tại A.

- Tổng ba góc trog một tam giác bằng \({180^o}\) để tính số đo mỗi góc của tam giác ADE.

Lời giải chi tiết :

a) Vì BD = BA (giả thiết) nên tam giác ABD cân tại B.

Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {BDA}\) (hai góc ở đáy).

Vì CE = CA (giả thiết) nên tam giác ACE cân tại C.

Suy ra \(\widehat {CAE} = \widehat {CEA}\) (hai góc ở đáy).

Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)

• Xét ∆ABC có: \(\widehat {BAC} + \widehat {CBA} + \widehat {BCA} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Mà \(\widehat {BAC} = 120^\circ \) (giả thiết), \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ  - \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ  - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \)

• Xét ∆ABD có: \(\widehat {BAD} + \widehat {DBA} + \widehat {BDA} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Mà \(\widehat {BAD} = \widehat {BDA}\), \(\widehat {BAD} = \widehat {BDA}\)

Suy ra \(\widehat {ADB} = \frac{{180^\circ  - \widehat {ABD}}}{2} = \frac{{180^\circ  - 30^\circ }}{2} = 75^\circ \)

• Xét ∆ACE có: \(\widehat {ACE} + \widehat {AEC} + \widehat {CAE} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Mà \(\widehat {CAE} = \widehat {CEA}\),  \(\widehat {CAE} = \widehat {CEA}\)

Suy ra \(\widehat {AEC} = \frac{{180^\circ  - \widehat {ACE}}}{2} = \frac{{180^\circ  - 30^\circ }}{2} = 75^\circ \).

Xét tam giác ADE có \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\) (cùng bằng 75°).

Suy ra tam giác AED cân tại A.

Vậy ∆ABD cân tại B, ∆ACE cân tại C và ∆AED cân tại A.

b) Xét ∆ADE có: \(\widehat {ADE} + \widehat {AED} + \widehat {DAE} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \(\widehat {DAE} = 180^\circ  - \widehat {ADE} - \widehat {AED} = 180^\circ  - 75^\circ  - 75^\circ  = 30^\circ \)

Vậy ∆ADE có \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = 75^\circ ,\widehat {EAD} = 30^\circ .\)