Bài 6 trang 103 vở thực hành Toán 8 tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M...

Đề bài :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các đoạn thẳng AB, AH sao cho AM = 2.MB, AN = $\frac{1}{2}$NH.

Chứng minh rằng $\Delta CAN\backsim \Delta CBM$ và $\Delta CHN\backsim \Delta CAM$.

Hướng dẫn giải :

Chứng minh \(\Delta CAH\backsim \Delta CBA\) => $\frac{CA}{CB}=\frac{AH}{BA}=\frac{AN}{CA}$ và $\widehat{CAH}=\widehat{CBA}$.

Chứng minh $\Delta CAN\backsim \Delta CBM$ và $\Delta CHN\backsim \Delta CAM$ dựa vào tỉ số cạnh tương ứng và góc xen giữa bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

(H.9.23). Hai tam giác vuông CAH (vuông tại H) và CBA (vuông tại A) có góc C chung. Do đó \(\Delta CAH\backsim \Delta CBA\) (một cặp góc nhọn bằng nhau).

Suy ra $\frac{CA}{CB}=\frac{AH}{BA}=\frac{AN}{CA}$ và $\widehat{CAH}=\widehat{CBA}$.

Hai tam giác CAN và CBM có:

$\frac{CA}{CB}=\frac{AN}{BM}$ (theo chứng minh trên),

$\widehat{CBM}=\widehat{CAH}=\widehat{CBA}=\widehat{CBN}$ (theo chứng minh trên).

Vậy $\Delta CAN\backsim \Delta CBM$ (c.g.c).

Hai tam giác vuông CHN (vuông tại H) và CAM (vuông tại A) có:

$\frac{HC}{AC}=\frac{HA}{AB}=\frac{HN}{AM}$ (vì $\Delta CAH\backsim \Delta CBA$).

Vậy $\Delta CHN\backsim \Delta CAM$ (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)