Bài 4 trang 103 vở thực hành Toán 8 tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH...

Đề bài :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh ΔHBM ∽ ΔHAN.

Hướng dẫn giải :

Chứng minh \(\widehat{HAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ABH}\)và \(\frac{HB}{HA}=\frac{BM}{AN}\) suy ra ΔHBM ∽ ΔHAN.

Lời giải chi tiết :

Hai tam giác vuông HBA (vuông tại H) và HAC (vuông tại H) có $\widehat{HBA}=\widehat{CBA}={{90}^{0}}-\widehat{ACB}=\widehat{HAC}$.

Do đó $\Delta HBA\backsim \Delta HAC$ (một cặp góc nhọn bằng nhau). Suy ra $\frac{BM}{AN}=\frac{BA}{AC}=\frac{HB}{HA}$.

Xét tam giác HBM và tam giác HAN, ta có: $\frac{BM}{AN}=\frac{HB}{HA}$ (theo chứng minh trên);

$\widehat{HBM}=\widehat{HBA}=\widehat{HAC}=\widehat{HAN}$ (theo chứng minh trên).

Do đó, $\Delta HBM\backsim \Delta HAN$ (c.g.c).